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1、,一、温故知新,(一)圆锥曲线的统一定义,平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时，是双曲线.,当0e1时，是椭圆；,(定点F不在定直线l上),当e=1时，是抛物线.,(二)抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2=2px(p0),(2)开口向左,y2=-2px(p0),(3)开口向上,x2=2py(p0),(4)开口向下,x2=-2py(p0),在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点,直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,抛物线的定义：,y2=2px,y2=
2、-2px,x2=2py,x2=-2py,标准方程、焦点、准线：,1抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A2 B3C4 D5解析：点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4(1)5.答案：D,答案：B,一、抛物线的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,1、范围,由抛物线y2=2px（p0）,所以抛物线的范围为,2、对称性,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。,由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,
3、、顶点,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.,5、开口方向,抛物线y2=2px（p0）的开口方向向右。,+X，x轴正半轴，向右,-X，x轴负半轴，向左,+y，y轴正半轴，向上,-y，y轴负半轴，向下,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大开口越大,x轴,x轴,y轴,y轴,练习：填空（顶点在原点，
4、焦点在坐标轴上）,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,x0yR,x0yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大.,P越大,开口越开阔,1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在
5、抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。,课堂练习：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,|PF|=x0+p/2,焦半径公式：,F,x0,p/2,焦半径及焦半径公式,抛物线上一点到焦点的距离,P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)、抛物线的离心率e是确定的为,、抛物线的通径为2P,2p越
6、大，抛物线的张口越大.,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），,解:,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,例3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程.,三、典例精析,作图：,(1)列表（在第一象限内列表）,(2)描点：,(3)连线：,课堂练习：,求适合下列条件的抛物线的方程：,（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).,求满足下列条件的抛物线的方程,（1）顶点在原点，焦点是（0，4）,（2）顶点在原点，准线是x4,（3）焦点是F（0，5），准线是y5,（4）顶点在原
7、点，焦点在x轴上，过点A（2，4）,练习,（三）、例题讲解：,练习：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,)的抛物线的标准方程为,A,（三）、例题讲解：,练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为,A,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。,例2：探照灯
8、反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。,(40,30),解:,设抛物线的标准方程为:y2=2px,由条件可得A(40,30),代入方程得:,302=2p40,解之:p=,故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0),只有一个公共点,有两个公共点,没有公共点,例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,例题3,（1）已
9、知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P=。,（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。,4,2,（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点坐标是。,四、课堂练习,34,B,有困难，找准线！,35,已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_,有困难，找准线！,有困难，找准线！,6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.,C,4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直
10、线2x-y+1=0所得的弦长为,解析：y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.故选A.答案：A,【变式训练】直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()（A）1（B）1或3（C）0（D）1或0【解析】选D.由 得ky28y160，若k0，则y2，若k0，则0，即6464k0,解得k1，此时直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，综上,k0或k1.,D,题后感悟求抛物线焦点弦长的一般方法用直线方程和抛物线方程列方程组；消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根；若弦过焦点，
11、则据定义转化为x1x2|AB|p或y1y2|AB|p.结合中的结果可求解；,3.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中点M到抛物线准线的距离,五、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,6、光学性质：,从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.,2.焦半径与焦点弦抛物
12、线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为,试试看!,x1x2p,px1x2,y1y2p,py1y2,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,当k为何值时,直线y=kx+2与抛物线,(1)两个交点(2)一个交点,(3)没有交点,直线与抛物线的位置关系的判定,例4：斜率为1的直线l经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交
13、于A,B两点.求线段AB的长度.,已知直线与抛物线，求弦长,(解法二：利用抛物线定义可将|AB|的长度转化为A、B两点到准线的距离和，然后用韦达定理求解。),提示（解法一：联立方程组求解A、B两点坐标，利用两点距离公式即可。）,A,B,例2 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.,法2|AB|=x1+x2+P,法1 利用两点间距离公式,法3,证明方法1：利用韦达定理,证明方法1：利用韦达定理,证明方法2：利用三角函数,引伸：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切,O,F,B,
14、A,C,D,E,H,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,x,y,证明：如图,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,ABAFBFADBC=2EH,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,A1,抛物线的焦点弦：,通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 的最小值,例5 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。,例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过
15、点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,当直线AB存在斜率时,设AB为,与y2=2px联立,得,yAyB=-p2,当直线AB不存在斜率时,结论显然成立.,所以，直线DB平行于抛物线的对称轴。,中点弦问题,一、抛物线的几何性质：,y2=2px（p0）,y2=-2px（p0）,x2=2py（p0）,x2=-2py（p0）,关于x轴对称,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,（0,0）,（0,0）,（0,0）,73,例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。,A,B,解：如
16、图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则，,又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22,即：x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,A,B,X10，X20，2p0,X1=x2.,由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且，所以,答案：C,3顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是_答案：y26x,4设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，求抛物线方程,答案：C,答案：x5,1从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？(1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线它没有对称中心(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平,【错解】B,【正解】C,
