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1、专题07等差数列与等比数列（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练5考点清单：01判断等差（等比）数列5【考试题型1判断数列是否为等差（等比）数列5考点清单：02证明数列是等差（等比）数列6【考试题型1证明数列是等差（等比）数列6考点清单：03等差（等比）数列的单调性7【考试题型1等差（等比）数列的单调性7考点清单：04求等差（等比）数列中的最大项8【考试题型1求等差（等比）数列中的最大项8考点清单：05等差（等比）数列通项性质11【考试题型U等差数列角标和性质11【考试题型2等比数列角标和性质12考点清单：06等差（等比）数列前项和基本量计算13【考试题型1等差（等比）
2、数列前项和的基本量计算13考点清单：07等差数列前项和性质15【考试题型1】片段和性质15【考试题型2】两个等差数列的比值16考点清单：08等比数列前项和性质17【考试题型1】片段和性质17【考试题型2】奇偶项和性质18考点清单：09%与SzI19【考试题型1已知S”与勺（）的关系，求勺19专题07等差数列一、思维导图二、知识回归知识点Oh等差数列的有关概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.知识点02：等差数列的通项公式首项为公差为d的等差数列/的通项公式为4=q+5-l）d.知识点0
3、3：等差数列的四种判断方法和两种证明方法（1）定义法。向一%二d（或者/一=d（2）（d是常数）。是等差数列.（2）等差中项法：2atl=ai+an+Sn2）（et）0见是等差数列.（3）通项公式：a,l=pn+q（PM为常数）U%是等差数列.（an可以看做关于的一次函数）（4）前项和公式：S.=4+3（A8为常数）=”是等差数列.（S“可以看做关于的二次函数，但是不含常数项C）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法知识点04：等差数列的性质/=,”+（一Md若+m=p+q,贝1J4+4=%,+%（特别的，当+机=2，有。“+%=2。P）知识点05：等差数列的前项和公式1、首项
4、为外，末项为。”的等差数列的前项和公式Sfr=幽会R2、首项为q,公差为d的等差数列的前项和公式5“=4+能辿1知识点06：等差数列前项和性质（1）若数列ql是公差为的等差数列，则数列j也是等差数列,且公差为不n2设等差数列勺的公差为d,Sn为其前项和，则黑,S2m_Sm,53w-S2m,S4zn-53w,组成公差为d的等差数列（3）在等差数列4,2中，它们的前项和分别记为S”,7；则L=六i2n-l（4）若等差数列伍“的项数为2，则52,r=n（an+4用）S偶一S奇二d，S有n若等差数列“的项数为2一1,则S偶=5-1）。“，S奇二，S奇-S偶二”，5-=-3偶n-i知识点07：等比数列的
5、概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（4工。）符号语言h=q （或者=q（n 2）（夕为常数,)知识点08：等比数列的判断（证明）1、定义：=q（或者乌-=g（2）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证（特别注意。”工0）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）知识点0%等比数列常用性质设数列4是等比数列，S”是其前项和.（I）an=a,nq-m（2）若加+=+4，则%为=%,4,其中孙,p,4N.特别地，若m+=2p,则勺4=；，其中m,n,peN
6、*.知识点10：等比数列前项和公式叫q=1若等比数列的首项为,公比为9,则它的前项和S=（“（I/）；，q*-q知识点11:等比数列前项和的性质公比为7的等比数列%的前项和为S”，关于5的性质常考的有以下四类：数列黑，52m-5w,-52m,S.-S3,“，组成公比为/（gr1）的等比数列当是偶数时，S偶=S奇q；当是奇数时，S奇=+S偶q（3）Sn+n=Sm+q,nSn=S+qnSm三、典型例题讲与练I考点清单,01判断等差（等比）数列【考试题型1判断数列是否为等差（等比）数列【解题方法】定义法【典例1】（2022上陕西榆林侑二校考期中）已知数列叫的通项公式为4=3XqJ,则数列应是（）A,
7、以1为首项，；为公比的等比数列B.以3为首项，；为公比的等比数列C,以1为首项，3为公比的等比数列D.以3为首项，3为公比的等比数列【答案】A3f1y+,1【详解】因为q=,=S3=所以数列%是以1为首项，（为公比的等比数歹人建）故选：A【典例2】（多选）（2022上甘肃白银高二校考阶段练习）已知等比数列“,产1,4=2,则（）.f1,A.数歹攻一是等比数列anB.数列是递增数列C.数列log?。”是等差数列D.数列log2%是递增数列【答案】ACD【详解】由q=1，4=2得q=2”，=,所以数列是等比数列且为递减数列，故A正确B不a,2an正确；iog2an=n-,数列1吗叫是递增的等差数列
8、，故C,D正确.故选：ACD.I考点清单:02证明数列是等差(等比)数列所以数列2是以1为首项，1为公差的等差数列，所以2=,所以。=-n【典例2】（2023上全国高三校联考开学考试）已知数列4满足4=0,且有零2=。“+.（1）证明：数列q+2是等比数列；【答案】（1）证明见解析【详解】（1）%=凡+，即。川=24+2-2,所以G+2（/+1）=2/+2-2+2（+1）=2/+4-=2all+2nan+2nan+2又4+2=2,所以q+2是以2为首项，2为公比的等比数列.I考点清单:03等差（等比）数列的单调性故选：D.【典例2】(多选)(2023上高二课时练习)已知等差数列%的公差d0,则
9、下列四个命题中真命题为()A.数列勺是递增数列B.数列4是递增数列C.数列：是递增数列D.数列an+3nd是递增数列【答案】AD【详解】对于A,等差数列4的公差d0,则数列,是递增数列，正确；对于B,不妨取4:-2,TO,1,2,则|4|:2,1,0,1,2,.不是递增数列，B错误；对于C,不妨取q:-2,-1,0,1,2,.,则屋：4,Loj4,.不是递增数列，C错误；对于D,由于等差数列4的公差d0,%随的增大而增大，3d随的增大而增大，故q+也随的增大而增大，即数列q,+3M是递增数列，D正确，故选：ADI考点清单:04求等差(等比)数列中的最大项所以a0=2_+2i,m.an-+212
10、1,贝IJ-2-=n+1,nnn21因为/5）=+巴-1在（0,4递减,在5,+）递增n当=4时,生=更=8.25,n4当=5时,2=?=8.2,n5所以=5时M取得最小值,最小值为故答案为:当【典例2（2022上江西赣州高三校联考期中）设公比为0的等比数列q的前项和为S”，前项积为小且1,11,=0C.4。22是数歹U1中的最大值D.数歹U1无最大值【答案】B【详解】当4。时，则。2口2022=42qO,且有智=41,可得牝，可得2022N0202N4l,此时02吟,与题干不符，不合乎题意；a2O22-1故0夕0,且有1=ql,可得。向%022,结合g0!0可得OV%O22V1l（2021）
11、,0q202Ia202120211,$2022=S202l+2O2220211,SIan21=222故B正确；21是数列4中的最大值,故CD错误故选：B.【专训11】（多选）（2023下湖北高二校联考阶段练习）公差为d的等差数列4的前项和为S”，若3122.则下列选项正确的是（）A.d0B.。“0时，的最大值为4043【答案】ACD【详解】对于A：由52o23S2o2S2O22可得生023+曝，出023（0，%）22，故等差数列“的公差d。2023-a2022，故A正确；对于B：由A得，数列为单调递减数列，旦生0230，电0220,故勺0时.，的最小值为2023,故B错误;对C：rtlA得，d
12、0,故*=?2+（4-3是关于/1的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值，故C正确；对于D：因为数列q,的前2022项均为止数，H.S*=4044fl=2022（,+）=2022（+3）。，Srj0时，的最大值为4043,故D正确；故选：ACD.【专训12】（2023山西忻州统考模拟预测）在等比数列%中，若6+%=62,%+4=31,则当“生外取得最大值时，=.【答案】6【详解】在等比数列“中，4+1=62,%+4=31,所以公比4 二生+包6+6所以q+03=4=62,解得q=,故X55易得勺=皇x（；j单调递减，且。0,所以当1“6时，an9当7时，041，%=21。），因为d-%+
13、g%=3,可得d-（q+6d）+g（q+4d）=d-；（4+8d）=3,即a：-g%=3，可得2*-的一6=，且。”0,解得%=2,又由S7=呸詈=9#=17%=34.故答案为：34.【典例2】（2024上重庆沙坪坝高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列q的前项和为S”，邑=6.若%是等比数列，且$6=54,求%;若=4+2,求S30.【答案】（1）勺=/27（2）330【详解】（1）因为6是等比数列，设首项为卬，公比为4，由6=54,S3=6知，q,所以S=也al=6；S6=aq=54-q6-q累得工=1+43=9,所以4=2，q代入得4=5，所以4=4WlqX2”（2）方法-:令“=$3&
14、S3f,A2,b=s3=1+fl2+3=6,因为4+3=4+2,所以-=S3kS3)-(S3g)-(*-2)=a3k+a3k-+a3k-2(a3k-3+a3k-4+a3k-S)=所以4是以6为首项，6为公差的等差数列，所以=6+(-l)6=6,所以%=白+b2+J艺(,”1=330,方法二：因为%=“+2,所以%+3-勺=2为常数所以，8是以%为首项，公差为2的等差数列,。2，。5，。8，。29是以“2为首项，公差为2的等差数列,%，%，。是以力为首项，公差为2的等差数列故S30=(q+a4+6t28)+(tz2+1）项和分别是S0和&S”:筌=（4+3）：【答案】10(%+%)xl3【详解】
15、解:%=2%=4+%二2二九=4x13+3b1Zb1-+3()13Tiy31-2故答案为：10【专训12】（2022上福建福州高二校联考期末）已知两个等差数列”和的前项和分别为S”和且IL=V则上的值为（）Tn+17c13C15cA.-B.C.D.2467【答案】A【详解】因等差数列前项和为关于72的不含常数项的二次函数，又WL=型号,C,Z/&Ss-Sil65Z-4422k7则可设S,=如z+3),7加(+1),则言=扳二荻=五TW故选：AI考点清单:08等比数列前项和性质【考试题型11片段和性质【解题方法】设等比数列4的公比为心数列与，52mi-Sw,53w,-52m,5.一53,”组成公
16、比为力（-D的等比数列【典例1】（2023上陕西榆林高三校考阶段练习）已知各项均为实数的等比数列q的前项和为S.，若SIo=1,S3070,则S40=（）A.150B.140C.130D.120【答案】A【详解】设等比数列0的公比为0，在等比数列“中，由SH）=I0,S3o=7O可知qwT,所以兀，520-510,Si0-S20,Sw-Sso构成公比为/的等比数列.所以(S20-SK)2=S(S却S2。)，BP(52o-1O)2=1O(7O-52o),解得S20=30(负值舍去).S,o51(3010C，因为V=b=2r,所以S40-S30=2(S3o-S2o)=8O,S4o=S30+80=1
17、50.故选：A【典例2】(2023上江苏盐城高二盐城市第一中学校考期中)己知SfJ是正项等比数列为的前项和，54=10,则2S2-3S8+S41的最小值为.【答案】t4【详解】由等比数列的性质可得：S4,SSq无-Sg成等比数列，则5式兀-5g)=(Sg-S),由于S,=10,所以兀-Sg=鱼3=铝臀4U2(S8-)2-2Sl2-3S4=2(S12-)S4-=10r-S810=255当且仅当&时取最小值，故最小值为故答案为：4【专训11】(2023上福建龙岩高二校考阶段练习)在等比数列&中，前项和为S“，S5=10,Sio=50,则须+%+%o=()A.22B.210C.640D.2560【答
18、案】C【详解】由s20-s5=%+%由题设易知：S20F,SLSI0、SIO-S5、W成等比数列,所以(S10-S5)2=S5(S15-SlO),pi6=10(几-EO)=S15-S10=160,同理(ELSH)2=(S10-S3)(S20-S15),pi602=40(520-Si5)=S20-S15=640.故选：C【考试题型2奇偶项和性质【解题方法】设等比数列%的公比为4,当是偶数时，S偶二S奇夕；当是奇数时，S奇=q+S偶q【典例1】(2022.上海.高三专题练习)解答下列各题：(S奇表示奇数项和，S偶表示偶数项和)(1) ,是等比数列，6=1,项数为偶数.S侍=85,Sfli=170,
19、求；(2) 4是等差数列，共项，为奇数，Sn=77,Sk33,4-4=18,求通项公式.【答案】(1)8：(2)%=-323.【详解】(1)9=2=2,所以,=2=85+170,解得=8；1-2(2)S奇=Sn-S低=44,1=S奇一Sc=44-33=11,即可+q=22,a-an=18,可得q=20MrJ=2,w=7,所以通项公式为勺=20-35-1)=-3+23.【专训11】(2020上陕西宝鸡高三统考阶段练习)已知等比数列包中，4=1,%+%+%.=85,a2+a4+a2k=42,1j=()A.2B.3C.4D.5【答案】B【详解】设等比数列%的公比为则勾+用+21=4+%q+a2kq=
20、85,即q(+%)=85-1=84,因为%+4+a2k=42所以夕=2,ll(l-22*+,)则al+a2+a3+2jt+a2kl=85+42=127=，12即128=221,解得=3,故选：B.【专训12】(2022高二课时练习)在等比数列q中，若+4+/=150,且公比4=2,则数列q的前100项和为.【答案】450【详解】在等比数列%中，公比4=2,则有:a.=：=2,Cii1a?cS202,则数列4是递增数列B.若以22%21，则数列伍，是递增数列C.若数列SJ是递增数列,则%m0202D.若数列区是递增数列，则-22%m【答案】D【详解】对于A中，如果数列q=T,公比为一2,满足S2
21、022S202,但是等比数列（q）不是递增数列，所以A不正确；对于B中，如果数列q=l,公比为满足小2n021，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确；对于C中，如果数列4=1,公比为;，可得S”=-i2-=2（1）,数列S.是递增数列，但是20221,可得41,所以gl,可得生O22O2I正确，所以D正确：【考试题型1求等差(等比)数列中的最大项【解题方法】UN%【典例1】(2022上江苏盐城高二盐城中学校考期中)已知数列叫满足q=21,%=勺+2，则子的最小值为.【答案】y【详解】因为=4+2,所以。“+|-=2%从而an-an,l=2(n-1)(2)ajt-a2=22a2-a=21,累加可得4=2l+2+(-1),C(n-)n2=2-=n2-n2而4=21,
