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1、作业讲评,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8(2),求dz.,解:,12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,精确值是V,近似值是|dV|.,用某种材料做一个开口长方体容器,其外形长5m,宽4m,高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值与精确值.,解:,设体积为V(m3),长宽高各为x,y,z(m),注意:正确使用各种记号.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取值,1.,求给定点和自变量增量的全微分时,先声明这些,否则应用记号,2.,表示z对 的导数.,就可以用dz等表示全微分.,第八章,第五节,复合函数和隐函数微分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一.复合函数微分法,二.隐函数微分
2、法,本节的教学要求,熟练掌握多元复合函数微分法了解全微分形式不变性掌握多元隐函数微分法,重点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,难点,(一)复合函数的微分法,设,是x,y的复合函数.,则,这是函数和中间变量均是二元函数的一般情况,它的结构图或变量关系图是:,可看成是由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如函数,复合而成.,和,注意:画出函数结构图对于,多元复合函数求导很有帮助.,因变量自变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果函数,且在对应于(x,y)的,则复合函数,在点(x,y),对x及y的偏导数存在,函数,定理8.3,的偏导数,都存在,点(u,v)处,可微,且,多元复合函数求导法
3、则也称为链式法则.,特别地,如果,这时,z对x 的导数称为全导数,即,如果,的全导数为,则z就是x的一元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则函数,例1,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,而,例2,设,的偏导数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,求,则,可得,例3,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,而,课堂练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.,解:,求,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,解:,例4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,其中,具有二阶连续偏导,数，求,解:,注意:认为抽象函数的偏导数的结构同原函数的结构.,例5,求
4、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,而,其中 都具有连续,的偏导数,这里,表示复合后,对x的偏导数;,表示复合前,(v为“常数”),对x的,偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：,各阶偏导数时,在求多元函数的偏导数，,特别是抽象函数的,经常利用下面简便的记法：,复合函数求导的链式法则,“分段相乘,分叉相加,单路全导,叉路偏导”,“理清结构,找齐链路”,例6,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为可微的函数,证:,因,所以,求证：,设,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中f 具有二阶连续偏,解:,注意到,仍是u,x,y的函数，,所以,设,导数,求,且,例8,求
5、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,设,其中f 具有二阶连续偏导数,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.练习,其中f 具有二阶连续偏导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P364 13(3)(4);14(2);15(2),求,作业讲评,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5(3),求,解:,（二）全微分形式的不变性,当u,v是x,y的可微函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的全微分为,当u,v为自变量时,其全微分,复合函数,由全微分定义和复合函数微分法可求得,所以,设,可微,时,而,这表明,对于函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,还是自变量,致性,称为
6、全微分形式不变性.,无论u,v是中间变量,这一形式上的一,其全微分形式一样.,利用全微分形式不变性可以通过求微分过程的细,化先求出函数的全微分,后求出函数的偏导数.,例9 设,利用全微分形式不变性,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此可得,求,例10 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,（三）隐函数的微分法,1)在什么条件下才能确定隐函数 y=f(x).,2)在能确定隐函数时,函数y=f(x)的连续性、可微,性及求导方法如何.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用多元复合函数微分法研究方程,例如,方程,当 C 0 时,能确定隐函数;,当 C 0 时,不能确定隐函数;,
7、一个方程所确定的隐函数及其导数,隐函数存在定理1,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连,(隐函数求导公式),(证明略),具有连续的偏导数;,在点x0的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内,满足条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,续导数,满足,两边对 x 求导数,在,的某邻域内,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求导公式推导如下：,例10 求方程,确定的函数,解:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的导数.,利用隐函数求导公式,也可利用隐函数求导法直接用复合函数求导法,方程两边对x求导得,设,两种方法不同,前者F对x求偏导数时y是“常数”,后者对x求导时y是x的复合
8、函数.,注意:,隐函数存在定理2,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),(证明略),满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对 x 求偏导数,同样可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求导公式推导如下:,设,是方程,所确定的隐函数,例11 求方程,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的偏导数.,所确定的函数,设,则由,可得,注意:虽然此例中方程确定两个不同的函数,但在其可导区域内,导数相同.,利用隐函数求导公式,例12 设,解法1 利用隐函数求导法直接用复合函数求导法,机动 目
9、录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,解法2 利用隐函数求导公式,设,则,两边对 x 求偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13,设F(x,y)具有连续偏导数,解:,确定的隐函数,则,已知方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,解法1 利用隐函数求导公式.,对方程两边求微分:,解法2 利用微分形式不变性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求,1.,解:,设,(一)利用隐函数求导公式,(二)利用复合函数求导法,(三)利用微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,解:,设,(一)利用隐函数求导公式,(二)利
10、用复合函数求导法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求,解:,(三)利用微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,有连续偏导数,且,解:,设函数,由方程,所确定,求du.,用微分形式不变性,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.复合函数求导的链式法则,“分段相乘,分叉相加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是因变量,“理清结构,找齐链路”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P365 16(1)(2)(5)(6);17(1);18(1),3.隐函数微分法,隐函数求导方法,方法1.利用复合函数求导法直接计算;,方法
11、2.利用微分形式不变性;,方法3.代隐函数求导公式,隐函数存在定理,方程组所确定的隐函数组及其导数,隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.,由 F、G 的偏导数组成的行列式,称为F、G 的雅可比(Jacobi)行列式.,以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,雅可比 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数存在定理3.,的某一邻域内具有连续偏,设函数,则方程组,的单值连续函数,且有偏导数公式:,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,有隐函数组,则,两边对 x 求导得,设方程组,在点P 的某邻域内,公式 目录 上页 下页 返回 结束,故得,系数行列式,推导偏导数公式如下：,同样可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14 设,解:,求,类似可求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题设,故,
