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1、巧用二次求导解决函数单调性和极值问题,深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作,导 言,在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求 的零点；列出 的变化关系表；根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。,一二阶导数与凸性,一二阶导数与凸性定义1.设
2、 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 与，恒有，那么称 在 I 上的图形是凹的；如果恒有，那么称 在 I 上的图形是凸的；定理1 设 在 上连续，在 内可导，那么：（1）若在 内 单调增加，则 在 上的图形是凹的；（2）若在 内 单调减少，则 在 上的图形是凸的；,一二阶导数与凸性,定理2设 在 上连续，在 内二阶可导，那么：（1）若在 内，则 在 上的图形是凹的；（2）若在 内，则 在 上的图形是凸的 凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识,因此,它不属于高中数学的研究范畴,但是,近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。凹凸性是函数图
3、像的主要形状之一。结合 的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。,二二阶导数与极值,二二阶导数与极值在高中，判断函数是否在 取得极值，经常是利用函数导数在 两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断 是否为函数的极值点。有如下的判定定理：定理3设函数 在点 处具有二阶导数且，那么（1）当 时，函数 在 处取得极大值；（2）当 时，函数 在 处取得极小值,典型例题讲解,例题1、已知函数，求函数 的单调区间。解：的定义域是.,设,则,典型例题讲解,当,当,时,所以,函数,上是减函数.,当,当,所以，函数 的单调递增区间是，递减区间是.,典型例题讲解,例题2、设函数,（）若,
4、求 的单调区间；,（）若当 时，,。求 的取值范围。,典型例题讲解,（2）、解：当 a 0时，在区间 上显然，综上(1)可得在区间 上 成立。故 a 0满足题意。当 a0 时，显然，当 在区间 上大于零时，为增函数，满足题意。而当 在区间 上为增函数时，也就是说，要求 在区间 上大于等于零，又因为 在区间 上为增函数，所以要求，即，解得。综上所述，a 的取值范围为。,典型例题讲解,例题3、已知函数.（）若，求 的取值范围；（）证明：解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 去分析 的单调性受阻。,典型例题讲
5、解,我们可以尝试再对 求导，可得，显然当 时，；当 1 时，0，即 在 区间 上为减函数，所以有当 0 x 时，我们通过二次求导分析 的单调性，得出当0 x 时，则 在区间 上为增函数，即，此时，则有 成立。下面我们在接着分析当 1x 时的情况，同理，当 1 x时，0，即 在区间 上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得 也成立。综上，得证。,典型例题讲解,例题4、设a 为实数，函数。（）求 的单调区间与极值；（）求证：当 a 且x 0时，。（）解：设，则：,典型例题讲解,由上表可知，而,由a 知 0，所以 0，即 在区间 上为增函数。,于是有,，而,故,0，即当a 且x0时，,课后练习题,设函数，,（）证明：当 时，,（）设当 时，求a 的取值范围。答案：,
